与えられた絶対値記号を含む方程式と不等式を解きます。具体的には、以下の3つの問題を解きます。 (1) $|x-3| = 2x$ (2) $|x+1| < 5x$ (3) $|2x-1| \geq x+4$

1. 問題の内容

与えられた絶対値記号を含む方程式と不等式を解きます。具体的には、以下の3つの問題を解きます。

(1) $|x-3| = 2x$

(2) $|x+1| < 5x$

(3) $|2x-1| \geq x+4$

2. 解き方の手順

(1) $|x-3| = 2x$ の場合

絶対値の中身の符号によって場合分けします。

(i) $x-3 \geq 0$、つまり $x \geq 3$ のとき、$|x-3| = x-3$ なので、方程式は $x-3 = 2x$ となります。これを解くと $x = -3$ となりますが、$x \geq 3$ の条件を満たさないため、解ではありません。

(ii) $x-3 < 0$、つまり $x < 3$ のとき、$|x-3| = -(x-3) = 3-x$ なので、方程式は $3-x = 2x$ となります。これを解くと $3x = 3$ より $x = 1$ となります。これは、$x < 3$ の条件を満たします。

また、$2x \ge 0$ である必要があるため、$x \ge 0$ である必要があります。

したがって、$x=1$ は条件を満たす解です。

(2) $|x+1| < 5x$ の場合

絶対値の中身の符号によって場合分けします。

(i) $x+1 \geq 0$、つまり $x \geq -1$ のとき、$|x+1| = x+1$ なので、不等式は $x+1 < 5x$ となります。これを解くと $4x > 1$ より $x > \frac{1}{4}$ となります。$x \geq -1$ と $x > \frac{1}{4}$ の共通範囲は $x > \frac{1}{4}$ です。

(ii) $x+1 < 0$、つまり $x < -1$ のとき、$|x+1| = -(x+1) = -x-1$ なので、不等式は $-x-1 < 5x$ となります。これを解くと $6x > -1$ より $x > -\frac{1}{6}$ となります。$x < -1$ と $x > -\frac{1}{6}$ の共通範囲は存在しません。

さらに、$5x > 0$ である必要があるため、$x>0$ である必要があります。

したがって、$x > \frac{1}{4}$ が解です。

(3) $|2x-1| \geq x+4$ の場合

絶対値の中身の符号によって場合分けします。

(i) $2x-1 \geq 0$、つまり $x \geq \frac{1}{2}$ のとき、$|2x-1| = 2x-1$ なので、不等式は $2x-1 \geq x+4$ となります。これを解くと $x \geq 5$ となります。$x \geq \frac{1}{2}$ と $x \geq 5$ の共通範囲は $x \geq 5$ です。

(ii) $2x-1 < 0$、つまり $x < \frac{1}{2}$ のとき、$|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x$ なので、不等式は $1-2x \geq x+4$ となります。これを解くと $3x \leq -3$ より $x \leq -1$ となります。$x < \frac{1}{2}$ と $x \leq -1$ の共通範囲は $x \leq -1$ です。

したがって、$x \leq -1$ または $x \geq 5$ が解です。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$

(2) $x > \frac{1}{4}$

(3) $x \leq -1$ または $x \geq 5$