与えられた2次関数 $y = 3x^2 - 18x + 16$ の定義域 $0 \le x \le 2$ における値域を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 3x^2 - 18x + 16$ の定義域 $0 \le x \le 2$ における値域を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 3x^2 - 18x + 16$

$y = 3(x^2 - 6x) + 16$

$y = 3(x^2 - 6x + 9 - 9) + 16$

$y = 3((x - 3)^2 - 9) + 16$

$y = 3(x - 3)^2 - 27 + 16$

$y = 3(x - 3)^2 - 11$

これにより、この2次関数の頂点の座標が$(3, -11)$であることがわかります。

次に、定義域 $0 \le x \le 2$ における関数の最大値と最小値を求めます。

頂点のx座標である $x=3$ は定義域に含まれていません。

$x = 0$ のとき、

$y = 3(0 - 3)^2 - 11 = 3(9) - 11 = 27 - 11 = 16$

$x = 2$ のとき、

$y = 3(2 - 3)^2 - 11 = 3(1) - 11 = 3 - 11 = -8$

したがって、定義域 $0 \le x \le 2$ における最大値は16 ($x=0$のとき)、最小値は-8 ($x=2$のとき)となります。

3. 最終的な答え

値域は $-8 \le y \le 16$