与えられた式 $5a^2 + 7ab - 6b^2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $5a^2 + 7ab - 6b^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式は二次式なので、因数分解を試みます。

$5a^2 + 7ab - 6b^2$ を $(Aa + Bb)(Ca + Db)$ の形に因数分解できると仮定します。ここで、$A, B, C, D$ は整数です。

展開すると、

$(Aa + Bb)(Ca + Db) = ACa^2 + (AD + BC)ab + BD b^2$

係数を比較すると、以下の連立方程式が得られます。

$AC = 5$

$AD + BC = 7$

$BD = -6$

$AC = 5$ より、$A$ と $C$ の候補は $(1, 5)$ または $(5, 1)$ です。

$BD = -6$ より、$B$ と $D$ の候補は $(1, -6)$, $(-1, 6)$, $(2, -3)$, $(-2, 3)$, $(3, -2)$, $(-3, 2)$, $(6, -1)$, $(-6, 1)$ です。

$A = 5$、 $C = 1$とします。

$5D + B = 7$を満たす$B,D$を見つけます。

$B = -2, D = \frac{9}{5}$ は整数ではないので不適です。

$B=2, D = 1$とすると、$5(1) + 2 = 7$を満たします。

よって、$(5a + 2b)(a - 3b)$ は $AC = 5, BD = -6$は満たすものの、$AD+BC = -15+2 = -13$となり $7$ にならないため、$B = 2, D = 1$ は不適です。

$B=12, D=-1$としても、$5(-1) + 12 = 7$を満たしますが、$BD = -12$となるので、$BD = -6$を満たしません。

$A = 1$、$C = 5$ とします。

$D + 5B = 7$を満たす$B,D$を見つけます。

$B=2, D = -3$の場合、$D + 5B = -3 + 5(2) = -3 + 10 = 7$となり、$BD = (2)(-3) = -6$を満たします。

よって、$(a+2b)(5a-3b)$ が候補となります。

$(a+2b)(5a-3b) = 5a^2 -3ab + 10ab - 6b^2 = 5a^2 + 7ab - 6b^2$

3. 最終的な答え

$(a+2b)(5a-3b)$