$2x^2 + 3y^2 = 1$ を満たす実数 $x, y$ が与えられたとき、$x^2 - y^2 + xy$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

$2x^2 + 3y^2 = 1$ を満たす実数 $x, y$ が与えられたとき、$x^2 - y^2 + xy$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を媒介変数を用いて表すことを考えます。

$2x^2 + 3y^2 = 1$ という式は、楕円を表しています。

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta$, $y = \frac{1}{\sqrt{3}}\sin\theta$ とおくと、$2x^2 + 3y^2 = 2 (\frac{1}{2} \cos^2 \theta) + 3 (\frac{1}{3} \sin^2 \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ となり、与えられた条件を満たします。

次に、$x^2 - y^2 + xy$ を $\theta$ を用いて表します。

\begin{align*}

x^2 - y^2 + xy &= \frac{1}{2}\cos^2\theta - \frac{1}{3}\sin^2\theta + \frac{1}{\sqrt{6}}\cos\theta\sin\theta \\

&= \frac{1}{2}\cos^2\theta - \frac{1}{3}\sin^2\theta + \frac{1}{2\sqrt{6}}\sin(2\theta) \\

&= \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} + \frac{1}{2\sqrt{6}} \sin(2\theta) \\

&= \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos(2\theta) - \frac{1}{6} + \frac{1}{6}\cos(2\theta) + \frac{1}{2\sqrt{6}}\sin(2\theta) \\

&= \frac{1}{12} + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{6}\right)\cos(2\theta) + \frac{1}{2\sqrt{6}}\sin(2\theta) \\

&= \frac{1}{12} + \frac{5}{12}\cos(2\theta) + \frac{1}{2\sqrt{6}}\sin(2\theta)

\end{align*}

$f(\theta) = \frac{5}{12}\cos(2\theta) + \frac{1}{2\sqrt{6}}\sin(2\theta)$ とおくと、$f(\theta)$ の最大値を求めるために、

$f(\theta) = A \sin(2\theta + \alpha)$ の形に変形します。

$A = \sqrt{\left(\frac{5}{12}\right)^2 + \left(\frac{1}{2\sqrt{6}}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{144} + \frac{1}{24}} = \sqrt{\frac{25}{144} + \frac{6}{144}} = \sqrt{\frac{31}{144}} = \frac{\sqrt{31}}{12}$

よって、

$x^2 - y^2 + xy = \frac{1}{12} + \frac{\sqrt{31}}{12} \sin(2\theta + \alpha)$

$\sin(2\theta + \alpha)$ の最大値は1なので、

求める最大値は $\frac{1}{12} + \frac{\sqrt{31}}{12} = \frac{1 + \sqrt{31}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{1 + \sqrt{31}}{12}$