集合$A = \{4, a+1, a\}$、集合$B = \{-2, a+3, 2a-1\}$があり、$A \cap B = \{1, 4\}$のとき、定数$a$の値と和集合$A \cup B$を求める。

1. 問題の内容

集合$A = \{4, a+1, a\}$、集合$B = \{-2, a+3, 2a-1\}$があり、$A \cap B = \{1, 4\}$のとき、定数$a$の値と和集合$A \cup B$を求める。

2. 解き方の手順

$A \cap B = \{1, 4\}$なので、$A$と$B$はともに$1$と$4$を要素として含む。

$A$は$4$を要素に含んでいるので、$a+1$または$a$が$1$である必要がある。

(1) $a+1 = 1$のとき、$a = 0$。

このとき、$A = \{4, 1, 0\}$, $B = \{-2, 3, -1\}$。

$A \cap B = \emptyset$となり、条件$A \cap B = \{1, 4\}$に反する。

(2) $a = 1$のとき、$A = \{4, 2, 1\}$, $B = \{-2, 4, 1\}$。

このとき、$A \cap B = \{1, 4\}$となり、条件を満たす。

したがって、$a = 1$。

このとき、$A = \{4, 2, 1\}$, $B = \{-2, 4, 1\}$なので、

$A \cup B = \{1, 2, 4, -2\}$となる。

3. 最終的な答え

$a = 1$, $A \cup B = \{-2, 1, 2, 4\}$