与えられた式 $x^3 + y^3 - 3xy + 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 + y^3 - 3xy + 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$1 = 1^3$ であることに注目します。

与式を以下のように書き換えます。

$x^3 + y^3 + 1^3 - 3xy(1)$

ここで、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ という因数分解の公式を利用します。

この公式において、$a = x, b = y, c = 1$ とすれば、

$x^3 + y^3 + 1^3 - 3xy(1) = (x+y+1)(x^2 + y^2 + 1^2 - xy - y(1) - x(1))$

$= (x+y+1)(x^2 + y^2 + 1 - xy - y - x)$

したがって、$x^3 + y^3 - 3xy + 1 = (x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-x-y)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-x-y)$