与えられた4つの2次関数について、グラフを描き、軸と頂点を求める問題です。関数は以下の通りです。 (1) $y = (x-1)^2 + 2$ (2) $y = 2(x-2)^2 - 4$ (3) $y = -2(x+1)^2 + 2$ (4) $y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 - 1$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数について、グラフを描き、軸と頂点を求める問題です。関数は以下の通りです。

(1) $y = (x-1)^2 + 2$

(2) $y = 2(x-2)^2 - 4$

(3) $y = -2(x+1)^2 + 2$

(4) $y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 - 1$

2. 解き方の手順

2次関数の一般形は $y = a(x-p)^2 + q$ であり、このとき頂点は $(p, q)$、軸は $x = p$ となります。

各関数について、この形に変形し、頂点と軸を求めます。

(1) $y = (x-1)^2 + 2$

すでに一般形なので、頂点は$(1, 2)$、軸は$x = 1$です。グラフは、$x=1$を軸とし、頂点$(1,2)$で下に凸な放物線になります。

(2) $y = 2(x-2)^2 - 4$

すでに一般形なので、頂点は$(2, -4)$、軸は$x = 2$です。グラフは、$x=2$を軸とし、頂点$(2,-4)$で下に凸な放物線になります。$y = x^2$ のグラフを$x$軸方向に2、$y$軸方向に$-4$平行移動し、$y$軸方向に2倍に拡大したものです。

(3) $y = -2(x+1)^2 + 2$

すでに一般形なので、頂点は$(-1, 2)$、軸は$x = -1$です。グラフは、$x=-1$を軸とし、頂点$(-1,2)$で上に凸な放物線になります。$y = x^2$ のグラフを$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に2平行移動し、$y$軸方向に$-2$倍に拡大（$x$軸に関して対称にしたあと2倍に拡大）したものです。

(4) $y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 - 1$

すでに一般形なので、頂点は$(-2, -1)$、軸は$x = -2$です。グラフは、$x=-2$を軸とし、頂点$(-2,-1)$で上に凸な放物線になります。$y = x^2$ のグラフを$x$軸方向に$-2$、$y$軸方向に$-1$平行移動し、$y$軸方向に$-\frac{1}{2}$倍に拡大（$x$軸に関して対称にしたあと$\frac{1}{2}$倍に縮小）したものです。

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(1, 2)$、軸: $x = 1$

(2) 頂点: $(2, -4)$、軸: $x = 2$

(3) 頂点: $(-1, 2)$、軸: $x = -1$

(4) 頂点: $(-2, -1)$、軸: $x = -2$