2次方程式 $x^2 + 5x + m = 0$ の2つの解が与えられた条件を満たすとき、定数 $m$ の値と2つの解を求める。 (1) 1つの解が他の解の4倍である。 (2) 2つの解の差が1である。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 5x + m = 0$ の2つの解が与えられた条件を満たすとき、定数 $m$ の値と2つの解を求める。

(1) 1つの解が他の解の4倍である。

(2) 2つの解の差が1である。

2. 解き方の手順

(1)

2つの解を $\alpha, 4\alpha$ とおく。解と係数の関係より、

$\alpha + 4\alpha = -5$

$5\alpha = -5$

$\alpha = -1$

また、

$\alpha \cdot 4\alpha = m$

$4\alpha^2 = m$

$\alpha = -1$ を代入すると、

$4(-1)^2 = m$

$m = 4$

したがって、2つの解は $\alpha = -1$ と $4\alpha = -4$ である。

(2)

2つの解を $\beta, \beta+1$ とおく。解と係数の関係より、

$\beta + (\beta+1) = -5$

$2\beta + 1 = -5$

$2\beta = -6$

$\beta = -3$

また、

$\beta (\beta+1) = m$

$\beta = -3$ を代入すると、

$(-3)(-3+1) = m$

$(-3)(-2) = m$

$m = 6$

したがって、2つの解は $\beta = -3$ と $\beta+1 = -2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $m = 4$, 2つの解は $-1, -4$

(2) $m = 6$, 2つの解は $-3, -2$