与えられた対数不等式を解く問題です。 (1) $\log_2(2-x) \geq \log_2 x$ (2) $\log_{\frac{1}{3}}(3-2x) \geq \log_{\frac{1}{3}} x$ (3) $\log_5(3x+10) \geq 2\log_5 x$

1. 問題の内容

与えられた対数不等式を解く問題です。

(1) $\log_2(2-x) \geq \log_2 x$

(2) $\log_{\frac{1}{3}}(3-2x) \geq \log_{\frac{1}{3}} x$

(3) $\log_5(3x+10) \geq 2\log_5 x$

2. 解き方の手順

(1) $\log_2(2-x) \geq \log_2 x$

まず、真数条件より、

$2-x > 0$ かつ $x > 0$

よって $0 < x < 2$。

底が2で1より大きいので、真数部分の大小関係は不等号の向きが変わらない。

$2-x \geq x$

$2 \geq 2x$

$1 \geq x$

よって $x \leq 1$。

真数条件と合わせて、$0 < x \leq 1$。

(2) $\log_{\frac{1}{3}}(3-2x) \geq \log_{\frac{1}{3}} x$

真数条件より、

$3-2x > 0$ かつ $x > 0$

よって $0 < x < \frac{3}{2}$。

底が $\frac{1}{3}$ で1より小さいので、真数部分の大小関係は不等号の向きが変わる。

$3-2x \leq x$

$3 \leq 3x$

$1 \leq x$

よって $x \geq 1$。

真数条件と合わせて、$1 \leq x < \frac{3}{2}$。

(3) $\log_5(3x+10) \geq 2\log_5 x$

真数条件より、

$3x+10 > 0$ かつ $x > 0$

よって $x > 0$。

$\log_5(3x+10) \geq \log_5 x^2$

底が5で1より大きいので、真数部分の大小関係は不等号の向きが変わらない。

$3x+10 \geq x^2$

$x^2 - 3x - 10 \leq 0$

$(x-5)(x+2) \leq 0$

$-2 \leq x \leq 5$

真数条件と合わせて、$0 < x \leq 5$。

3. 最終的な答え

(1) $0 < x \leq 1$

(2) $1 \leq x < \frac{3}{2}$

(3) $0 < x \leq 5$