問題1は、与えられた指数表記を対数表記に書き換える問題です。問題2は、与えられた対数の底を $e$ に変換する問題です。

1. 問題の内容

問題1は、与えられた指数表記を対数表記に書き換える問題です。問題2は、与えられた対数の底を $e$ に変換する問題です。

2. 解き方の手順

問題1：指数表記を対数表記に変換する

指数表記 $y = a^x$ は、対数表記 $x = \log_a y$ に変換できます。

(1) $2^3 = 8$ の場合: $3 = \log_2 8$

(2) $10^4 = 10000$ の場合: $4 = \log_{10} 10000$

(3) $4^{-2} = \frac{1}{16}$ の場合: $-2 = \log_4 \frac{1}{16}$

(4) $10^{-3} = \frac{1}{1000}$ の場合: $-3 = \log_{10} \frac{1}{1000}$

(5) $6^0 = 1$ の場合: $0 = \log_6 1$

(6) $100^0 = 1$ の場合: $0 = \log_{100} 1$

問題2：対数の底を $e$ に変換する

対数の底の変換公式 $\log_z y = \frac{\log_a y}{\log_a z}$ を利用します。特に、底を $e$ に変換する場合は、$a = e$ として $\log_z y = \frac{\log_e y}{\log_e z} = \frac{\ln y}{\ln z}$ となります。ここで $\ln$ は自然対数を表します。

(1) $\log_2 100$ の場合: $\log_2 100 = \frac{\ln 100}{\ln 2}$

(2) $\log_2 10e$ の場合: $\log_2 10e = \frac{\ln (10e)}{\ln 2}$

3. 最終的な答え

問題1：

(1) $\log_2 8 = 3$

(2) $\log_{10} 10000 = 4$

(3) $\log_4 \frac{1}{16} = -2$

(4) $\log_{10} \frac{1}{1000} = -3$

(5) $\log_6 1 = 0$

(6) $\log_{100} 1 = 0$

問題2：

(1) $\log_2 100 = \frac{\ln 100}{\ln 2}$

(2) $\log_2 10e = \frac{\ln (10e)}{\ln 2}$