次の3つの式を整数係数の範囲で因数分解する問題です。 (1) $x^4 + x^2 + 1$ (2) $x^4 - 16y^4$ (3) $x^{12} - y^{12}$

1. 問題の内容

次の3つの式を整数係数の範囲で因数分解する問題です。

(1) $x^4 + x^2 + 1$

(2) $x^4 - 16y^4$

(3) $x^{12} - y^{12}$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 + x^2 + 1$ の因数分解

$x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$ と変形する。

$(x^2 + 1)^2 - x^2$ となる。

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形である。

よって、$(x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x)$ となる。

したがって、$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$ となる。

(2) $x^4 - 16y^4$ の因数分解

$x^4 - (4y^2)^2$ と変形する。

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形である。

よって、$(x^2 + 4y^2)(x^2 - 4y^2)$ となる。

さらに、$(x^2 - 4y^2) = (x + 2y)(x - 2y)$ と因数分解できる。

したがって、$(x^2 + 4y^2)(x + 2y)(x - 2y)$ となる。

(3) $x^{12} - y^{12}$ の因数分解

$(x^6)^2 - (y^6)^2$ と変形する。

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形である。

よって、$(x^6 + y^6)(x^6 - y^6)$ となる。

$(x^6 - y^6)$ は $(x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3+y^3)(x^3-y^3)$ と因数分解できる。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 -xy + y^2)$

$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 +xy + y^2)$

$(x^6 + y^6)$ は $(x^2)^3 + (y^2)^3 = (x^2+y^2)((x^2)^2 - x^2y^2 + (y^2)^2)$

$= (x^2+y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$ と因数分解できる。

したがって、

$(x^2+y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)(x+y)(x^2 -xy + y^2)(x-y)(x^2 +xy + y^2)$となる。

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

(2) $(x^2 + 4y^2)(x + 2y)(x - 2y)$

(3) $(x^2+y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)(x+y)(x^2 -xy + y^2)(x-y)(x^2 +xy + y^2)$

または

$(x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$