二項定理を用いて、$2^{80} - 1$ がどのように変形できるかを問う問題です。

1. 問題の内容

二項定理を用いて、$2^{80} - 1$ がどのように変形できるかを問う問題です。

2. 解き方の手順

$2^{80}$ を $(1+1)^{80}$ と考え、二項定理を適用します。二項定理は、任意の整数 $n$ に対して、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$

と表されます。

したがって、

$(1+1)^{80} = \sum_{k=0}^{80} \binom{80}{k} 1^{80-k}1^k = \sum_{k=0}^{80} \binom{80}{k}$

となります。ここで $\binom{80}{k}$ は二項係数です。

$\sum_{k=0}^{80} \binom{80}{k} = \binom{80}{0} + \binom{80}{1} + \binom{80}{2} + \dots + \binom{80}{80}$

したがって、$2^{80} - 1 = (\binom{80}{0} + \binom{80}{1} + \binom{80}{2} + \dots + \binom{80}{80}) - 1$となります。

ここで $\binom{80}{0} = 1$なので、

$2^{80} - 1 = \binom{80}{1} + \binom{80}{2} + \dots + \binom{80}{80}$

3. 最終的な答え

$2^{80} - 1 = \sum_{k=1}^{80} \binom{80}{k}$