複素数 $z_1 = 1 + 2i$ と $z_2 = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ が与えられたとき、次の値を求めます。 (1) $\overline{z_1}$ (2) $z_1 \overline{z_1}$ (3) $|z_1|$ (4) $\arg z_2$

1. 問題の内容

複素数 $z_1 = 1 + 2i$ と $z_2 = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ が与えられたとき、次の値を求めます。

(1) $\overline{z_1}$

(2) $z_1 \overline{z_1}$

(3) $|z_1|$

(4) $\arg z_2$

2. 解き方の手順

(1) 複素数 $z = a + bi$ の共役複素数 $\overline{z}$ は $\overline{z} = a - bi$ で定義されます。したがって、$z_1 = 1 + 2i$ の共役複素数は $\overline{z_1} = 1 - 2i$ です。

(2) 複素数 $z = a + bi$ とその共役複素数 $\overline{z} = a - bi$ の積は $z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$ となります。したがって、$z_1 = 1 + 2i$ に対して、

$z_1\overline{z_1} = (1 + 2i)(1 - 2i) = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$ です。

(3) 複素数 $z = a + bi$ の絶対値 $|z|$ は $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ で定義されます。したがって、$z_1 = 1 + 2i$ の絶対値は

$|z_1| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ です。

問題の画像には、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{3}$ と書いてありますが、正しくは $\sqrt{5}$ です。

(4) 複素数 $z = a + bi$ の偏角 $\arg z$ は、$\tan \theta = \frac{b}{a}$ を満たす $\theta$ です。$z_2 = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ に対して、$a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{2}$ なので、

$\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ となります。したがって、$\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{z_1} = 1 - 2i$

(2) $z_1\overline{z_1} = 5$

(3) $|z_1| = \sqrt{5}$

(4) $\arg z_2 = \frac{\pi}{4}$