次の和を求めよ。 $3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 9 \cdot 4 + \dots + 3n(n+1)$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。

$3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 9 \cdot 4 + \dots + 3n(n+1)$

2. 解き方の手順

この数列の一般項を $a_k$ とすると、

$a_k = 3k(k+1)$

したがって、求める和を $S$ とすると、

$S = \sum_{k=1}^{n} 3k(k+1)$

$= \sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 3k)$

$= 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらを代入すると、

$S = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{3n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1 + 3)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+4)}{2}$

$= \frac{2n(n+1)(n+2)}{2}$

$= n(n+1)(n+2)$

3. 最終的な答え

$n(n+1)(n+2)$