問題3：次の2次方程式を解け。 (1) $2x^2 - \sqrt{5}x + 1 = 0$ (2) $2(x+1)^2 - 4(x+1) + 3 = 0$ 問題4：2次方程式 $2x^2 + 4x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の式の値を求めよ。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ (3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題3：次の2次方程式を解け。

(1) $2x^2 - \sqrt{5}x + 1 = 0$

(2) $2(x+1)^2 - 4(x+1) + 3 = 0$

問題4：2次方程式 $2x^2 + 4x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の式の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

2. 解き方の手順

問題3(1)

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ で求められる。

$2x^2 - \sqrt{5}x + 1 = 0$ に解の公式を適用する。

$a = 2, b = -\sqrt{5}, c = 1$

$x = \frac{\sqrt{5} \pm \sqrt{(-\sqrt{5})^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{\sqrt{5} \pm \sqrt{5 - 8}}{4} = \frac{\sqrt{5} \pm \sqrt{-3}}{4} = \frac{\sqrt{5} \pm i\sqrt{3}}{4}$

問題3(2)

$2(x+1)^2 - 4(x+1) + 3 = 0$

$y = x+1$ と置換する。

$2y^2 - 4y + 3 = 0$

解の公式を適用する。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 24}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{-8}}{4} = \frac{4 \pm 2i\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{i\sqrt{2}}{2}$

$x+1 = 1 \pm \frac{i\sqrt{2}}{2}$

$x = \pm \frac{i\sqrt{2}}{2}$

問題4

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -\frac{4}{2} = -2$, $\alpha\beta = \frac{3}{2}$

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-2)^2 - 2(\frac{3}{2}) = 4 - 3 = 1$

(2) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta) = \frac{3}{2}(-2) = -3$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

問題3

(1) $x = \frac{\sqrt{5} \pm i\sqrt{3}}{4}$

(2) $x = \pm \frac{i\sqrt{2}}{2}$

問題4

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = 1$

(2) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = -3$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{3}$