与えられた計算式 $\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(1+3)-2\sqrt{1\cdot3}} = \sqrt{(\sqrt{1}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1}-\sqrt{3} = 1-\sqrt{3}$ の中のどこに誤りがあるかを指摘する問題です。

1. 問題の内容

与えられた計算式 $\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(1+3)-2\sqrt{1\cdot3}} = \sqrt{(\sqrt{1}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1}-\sqrt{3} = 1-\sqrt{3}$ の中のどこに誤りがあるかを指摘する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$ を変形します。

根号の中身を $(a-b)^2$ の形にすることを考えます。

$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ ですから、$a^2 + b^2 = 4$ および $ab = \sqrt{3}$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a = \sqrt{3}$ と $b = 1$ が条件を満たします。

したがって、

$4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 + 1^2 - 2\sqrt{3} \cdot 1 = (\sqrt{3}-1)^2$ となります。

よって、

$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = |\sqrt{3}-1| = \sqrt{3}-1$ となります。

与えられた式を順に見ていくと、

① $\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(1+3)-2\sqrt{1\cdot3}}$ は正しいです。

② $\sqrt{(1+3)-2\sqrt{1\cdot3}} = \sqrt{(\sqrt{1}-\sqrt{3})^2}$ も正しいです。

③ $\sqrt{(\sqrt{1}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1}-\sqrt{3}$ は誤りです。正しくは$\sqrt{(\sqrt{1}-\sqrt{3})^2} = |\sqrt{1}-\sqrt{3}| = |1-\sqrt{3}| = \sqrt{3}-1$です。

④ $\sqrt{1}-\sqrt{3} = 1-\sqrt{3}$ は正しいですが、前のステップで既に誤りがあるので意味がありません。

3. 最終的な答え

誤っているのは③です。