問題は、奇数の二乗の和を求めることです。具体的には、以下の式を計算します。 $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2$

1. 問題の内容

問題は、奇数の二乗の和を求めることです。具体的には、以下の式を計算します。

$1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2$

2. 解き方の手順

まず、$k$番目の奇数を $2k-1$ と表せることを利用します。求めたい和を $S$ とすると、

$S = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$

展開して、

$S = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1)$

シグマ記号を分解して、

$S = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、以下の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$S = 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\frac{n(n+1)}{2} + n$

$S = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$

$S = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3}$

$S = \frac{n[2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3]}{3}$

$S = \frac{n[2(2n^2 + 3n + 1) - 6n - 6 + 3]}{3}$

$S = \frac{n[4n^2 + 6n + 2 - 6n - 3]}{3}$

$S = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$

$S = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ あるいは $\frac{4n^3 - n}{3}$