与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-2)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-2)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$(k-1)(k-2)$ を展開します。

$(k-1)(k-2) = k^2 - 3k + 2$

次に、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2)$ を計算します。

これは、$\sum_{k=1}^{n} k^2$, $\sum_{k=1}^{n} k$, $\sum_{k=1}^{n} 1$ の和と差で表すことができます。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k + 2\sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、以下の公式を使用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3\frac{n(n+1)}{2} + 2n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{9n(n+1)}{6} + \frac{12n}{6}$

$= \frac{n}{6} [(n+1)(2n+1) - 9(n+1) + 12]$

$= \frac{n}{6} [2n^2 + 3n + 1 - 9n - 9 + 12]$

$= \frac{n}{6} [2n^2 - 6n + 4]$

$= \frac{n}{6} [2(n^2 - 3n + 2)]$

$= \frac{n}{3} (n^2 - 3n + 2)$

$= \frac{n(n-1)(n-2)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$