複素数 $z_1 = \sqrt{3} + i$ と $z_2 = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ を、それぞれ極形式 $re^{i\theta}$ の形で表し、極形式から元の数に戻ることを確認します。

1. 問題の内容

複素数 $z_1 = \sqrt{3} + i$ と $z_2 = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ を、それぞれ極形式 $re^{i\theta}$ の形で表し、極形式から元の数に戻ることを確認します。

2. 解き方の手順

まず、$z_1 = \sqrt{3} + i$ について考えます。

$r_1 = |z_1| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$\theta_1$ は、$\cos \theta_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \theta_1 = \frac{1}{2}$ を満たすので、$\theta_1 = \frac{\pi}{6}$

したがって、$z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$ となります。

確認のため、$2e^{i\frac{\pi}{6}} = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} + i$ となり、元に戻ります。

次に、$z_2 = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ について考えます。

$r_2 = |z_2| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$

$\theta_2$ は、$\cos \theta_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin \theta_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たすので、$\theta_2 = \frac{\pi}{4}$

したがって、$z_2 = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$ となります。

確認のため、$2e^{i\frac{\pi}{4}} = 2(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ となり、元に戻ります。

3. 最終的な答え

$z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$

$z_2 = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$