$a > 0$ とする。$a^b = b^a$ かつ $a < b$ を満たす数 $b$ が存在するような $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。$a^b = b^a$ かつ $a < b$ を満たす数 $b$ が存在するような $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a^b = b^a$ の両辺の自然対数をとると、

$b \log a = a \log b$

$\frac{\log a}{a} = \frac{\log b}{b}$

関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ を考える。$a < b$ のとき、$f(a) = f(b)$ となる $a$ の範囲を求める。

$f(x)$ を微分すると、

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$1 - \log x = 0$ より $\log x = 1$、すなわち $x = e$ のときである。

$x < e$ のとき $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加関数である。

$x > e$ のとき $f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少関数である。

したがって、$f(x)$ は $x = e$ で最大値をとる。

$f(1) = \frac{\log 1}{1} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$

よって、求める条件を満たすためには、$1 < a < e$ でなければならない。$a = 1$のときは、$\log a = 0$ となり、$b$が存在しないため除外する。

$a = e$のとき、$b$は存在しない。

$1 < a < e$ のとき、$f(a) = \frac{\log a}{a}$ となる $b$ が必ず存在する。なぜなら、$f(a)$ は $a=e$ まで増加し、$a=e$ 以降は減少するからである。

したがって、$1 < a < e$のとき、$a < b$ となる $b$ が存在する。

3. 最終的な答え

$1 < a < e$