次の4つの和を計算します。 (1) $\sum_{k=1}^{10} k$ (2) $\sum_{i=1}^{10} 2^{i-1}$ (3) $\sum_{n=1}^{10} 3n$ (4) $\sum_{t=1}^{10} (t + 2^{t-1})$

1. 問題の内容

次の4つの和を計算します。

(1) $\sum_{k=1}^{10} k$

(2) $\sum_{i=1}^{10} 2^{i-1}$

(3) $\sum_{n=1}^{10} 3n$

(4) $\sum_{t=1}^{10} (t + 2^{t-1})$

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の和の公式を用います。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$n=10$を代入して、

$\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 55$

(2) 等比数列の和の公式を用います。

$\sum_{i=1}^{n} ar^{i-1} = a \frac{1-r^n}{1-r}$

この場合、$a=1$、$r=2$、$n=10$なので、

$\sum_{i=1}^{10} 2^{i-1} = \frac{1-2^{10}}{1-2} = \frac{1-1024}{-1} = \frac{-1023}{-1} = 1023$

(3) 定数倍の性質と等差数列の和の公式を用います。

$\sum_{n=1}^{10} 3n = 3 \sum_{n=1}^{10} n = 3 \times \frac{10(10+1)}{2} = 3 \times \frac{10 \times 11}{2} = 3 \times 55 = 165$

(4) 和の性質を利用して、(1)と(2)の結果を流用します。

$\sum_{t=1}^{10} (t + 2^{t-1}) = \sum_{t=1}^{10} t + \sum_{t=1}^{10} 2^{t-1}$

$= 55 + 1023 = 1078$

3. 最終的な答え

(1) 55

(2) 1023

(3) 165

(4) 1078