$a > 0$ とする。$a^b = b^a$ かつ $a < b$ を満たす数 $b$ が存在するような $a$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。$a^b = b^a$ かつ $a < b$ を満たす数 $b$ が存在するような $a$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a^b = b^a$ の両辺の自然対数をとると、

$b \ln a = a \ln b$

となる。これを整理すると、

$\frac{\ln a}{a} = \frac{\ln b}{b}$

となる。ここで、関数 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ を考える。$f(x)$ の導関数は、

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

である。$f'(x) = 0$ となるのは $1 - \ln x = 0$ より $\ln x = 1$ つまり $x = e$ のときである。$f'(x)$ の符号を調べると、

- $x < e$ のとき、$f'(x) > 0$ より、$f(x)$ は単調増加

- $x > e$ のとき、$f'(x) < 0$ より、$f(x)$ は単調減少

となる。したがって、$f(x)$ は $x = e$ で極大値 $f(e) = \frac{1}{e}$ をとる。

$a < b$ かつ $f(a) = f(b)$ を満たす $a$ と $b$ が存在するためには、$0 < a < e$ が必要である。このとき、$a < x < e$ で $f'(x) > 0$ であり、$x > e$ で $f'(x) < 0$ であることから、$a < b$ となるような $b$ が存在する。

$a=1$ のとき、$\frac{\ln a}{a} = \frac{\ln 1}{1} = 0$。したがって、$\ln b=0$ となり、$b=1$。しかし $a<b$ を満たさないので、$a=1$ は不適である。

$a$がeに近づくとき、$b$もeに近づき、$b>a$ を保っている必要がある。

もし、$a=e$ なら、$b=e$。つまり $a < b$ を満たさない。

$a > e$なら、$a<b$ となる$b$は存在しない。

次に、$a=2$ のとき、$2^b = b^2$ となる $b > 2$ を探す。$b=4$ とすると、$2^4 = 16$ であり、$4^2 = 16$ である。したがって、$a=2$ のとき、$b=4$ が存在する。

$1 < a < e$ であるから、$a=1$ と $a=e$ は含まれない。

したがって、$1 < a < e$ となる。

3. 最終的な答え

$1 < a < e$