$p: -1 < x < 1$、$q: -2 < x < 2$という条件の下で、命題「$p \implies q$」の真偽を調べ、偽である場合は反例をあげる。ここで、$x$は実数とする。

1. 問題の内容

$p: -1 < x < 1$、$q: -2 < x < 2$という条件の下で、命題「$p \implies q$」の真偽を調べ、偽である場合は反例をあげる。ここで、$x$は実数とする。

2. 解き方の手順

命題「$p \implies q$」は、「$p$ならば$q$である」という意味である。

この命題が真であるためには、$p$を満たす全ての$x$が$q$を満たさなければならない。

数直線上で、$p$と$q$の範囲を図示すると、$p$の範囲（$-1 < x < 1$）は、$q$の範囲（$-2 < x < 2$）に完全に含まれていることがわかる。

したがって、$p$を満たす全ての$x$は、$q$を満たす。

これは、$p$が$q$であるための十分条件であることを意味する。

もし、$p$を満たすが$q$を満たさない$x$が存在すれば、命題は偽となる。

しかし、今回はそのような$x$は存在しない。

3. 最終的な答え

真