複素数平面上の3点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$) が作る三角形ABCについて、 (1) 線分BCの中点D($\delta$) を $\beta$ と $\gamma$ で表す。 (2) 線分ADを2:1に内分する点G($z$) を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ で表す。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$) が作る三角形ABCについて、

(1) 線分BCの中点D($\delta$) を $\beta$ と $\gamma$ で表す。

(2) 線分ADを2:1に内分する点G($z$) を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ で表す。

2. 解き方の手順

(1) 線分BCの中点D($\delta$) は、BとCの複素数の平均で表される。

したがって、

$\delta = \frac{\beta + \gamma}{2}$

(2) 線分ADを2:1に内分する点G($z$) は、内分点の公式を用いて表される。

A($\alpha$)とD($\delta$)を2:1に内分する点G($z$) は、

$z = \frac{1\cdot \alpha + 2\cdot \delta}{2+1}$

となる。

(1)で求めた$\delta$を代入すると、

$z = \frac{\alpha + 2\cdot \frac{\beta + \gamma}{2}}{3}$

$z = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\delta = \frac{\beta + \gamma}{2}$

(2) $z = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{3}$