与えられた複素数 $z$ に対して、絶対値 $|z|$ と偏角 $\arg z$（ただし $-\pi < \arg z < \pi$）を求め、さらに極形式で表す。複素数は以下の３つです。 (1) $z = 1 + i$ (2) $z = \sqrt{3} - i$ (3) $z = -5i$

1. 問題の内容

与えられた複素数 $z$ に対して、絶対値 $|z|$ と偏角 $\arg z$（ただし $-\pi < \arg z < \pi$）を求め、さらに極形式で表す。複素数は以下の３つです。

(1) $z = 1 + i$

(2) $z = \sqrt{3} - i$

(3) $z = -5i$

2. 解き方の手順

複素数 $z = a + bi$ に対して、絶対値は $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ で計算できます。偏角 $\arg z$ は、$\cos \theta = \frac{a}{|z|}$ かつ $\sin \theta = \frac{b}{|z|}$ を満たす $\theta$ として求められます。ただし、$-\pi < \theta \le \pi$ の範囲で考えます。極形式は $z = |z| (\cos \theta + i \sin \theta)$ で表されます。

(1) $z = 1 + i$ の場合：

絶対値 $|z|$ は、

$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

偏角 $\theta$ は、

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たすので、$\theta = \frac{\pi}{4}$

したがって、極形式は

$z = \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$

(2) $z = \sqrt{3} - i$ の場合：

絶対値 $|z|$ は、

$|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

偏角 $\theta$ は、

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \theta = \frac{-1}{2}$ を満たすので、$\theta = -\frac{\pi}{6}$

したがって、極形式は

$z = 2 (\cos (-\frac{\pi}{6}) + i \sin (-\frac{\pi}{6}))$

(3) $z = -5i$ の場合：

絶対値 $|z|$ は、

$|z| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25} = 5$

偏角 $\theta$ は、

$\cos \theta = \frac{0}{5} = 0$、$\sin \theta = \frac{-5}{5} = -1$ を満たすので、$\theta = -\frac{\pi}{2}$

したがって、極形式は

$z = 5 (\cos (-\frac{\pi}{2}) + i \sin (-\frac{\pi}{2}))$

3. 最終的な答え

(1) $|z| = \sqrt{2}$, $\arg z = \frac{\pi}{4}$, $z = \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$

(2) $|z| = 2$, $\arg z = -\frac{\pi}{6}$, $z = 2 (\cos (-\frac{\pi}{6}) + i \sin (-\frac{\pi}{6}))$

(3) $|z| = 5$, $\arg z = -\frac{\pi}{2}$, $z = 5 (\cos (-\frac{\pi}{2}) + i \sin (-\frac{\pi}{2}))$