（1）図からベクトル$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を読み取り、内積やベクトルの和に関する以下の計算をせよ。 ① $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ② $\vec{a} \cdot \vec{c}$ ③ $\vec{b} \cdot \vec{c}$ ④ $\vec{b} \cdot \vec{b}$ ⑤ $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})$ ⑥ $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c})$ （2）$|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 4$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$のとき、 ① $|\vec{a}+\vec{b}|^2$を $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$, $\vec{a} \cdot \vec{b}$を用いて表せ。 ② $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b})$であることを利用して、$|\vec{a}+\vec{b}|$を求めよ。

1. 問題の内容

（1）図からベクトル$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を読み取り、内積やベクトルの和に関する以下の計算をせよ。

① $\vec{a} \cdot \vec{b}$

② $\vec{a} \cdot \vec{c}$

③ $\vec{b} \cdot \vec{c}$

④ $\vec{b} \cdot \vec{b}$

⑤ $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})$

⑥ $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c})$

（2）$|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 4$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$のとき、

① $|\vec{a}+\vec{b}|^2$を $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$, $\vec{a} \cdot \vec{b}$を用いて表せ。

② $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b})$であることを利用して、$|\vec{a}+\vec{b}|$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、図から各ベクトルの成分を読み取る。

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \end{pmatrix}$

① $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \times 1 + (-1) \times 1 = -1$

② $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \times 4 + (-1) \times (-4) = 4$

③ $\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \times 4 + 1 \times (-4) = 0$

④ $\vec{b} \cdot \vec{b} = 1 \times 1 + 1 \times 1 = 2$

⑤ $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = -1 + 4 = 3$

⑥ $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} + (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} = -1 + 2 + 4 + 0 = 5$

(2)

① $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

したがって、$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

② $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \times 3 + 4^2 = 3 + 6 + 16 = 25$

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{25} = 5$

3. 最終的な答え

(1)

① $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$

② $\vec{a} \cdot \vec{c} = 4$

③ $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$

④ $\vec{b} \cdot \vec{b} = 2$

⑤ $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 3$

⑥ $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 5$

(2)

① $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

② $|\vec{a}+\vec{b}| = 5$