(1) 複素数平面上の2点 $A(3-i)$、$B(5+3i)$ について、線分 $AB$ を $2:3$ に内分する点 $P$ を表す複素数を求めよ。 (2) 複素数平面上の2点 $A(-4+3i)$、$B(6-5i)$ の中点 $P$ を表す複素数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 複素数平面上の2点 $A(3-i)$、$B(5+3i)$ について、線分 $AB$ を $2:3$ に内分する点 $P$ を表す複素数を求めよ。

(2) 複素数平面上の2点 $A(-4+3i)$、$B(6-5i)$ の中点 $P$ を表す複素数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$ を表す複素数は、

$$\frac{n\alpha + m\beta}{m+n}$$

ここで、$A(\alpha)$、$B(\beta)$ とする。

この問題では、$m=2$、$n=3$、$\alpha = 3-i$、$\beta = 5+3i$ であるから、点 $P$ を表す複素数は、

$$\frac{3(3-i) + 2(5+3i)}{2+3} = \frac{9-3i + 10+6i}{5} = \frac{19+3i}{5} = \frac{19}{5} + \frac{3}{5}i$$

(2) 線分 $AB$ の中点 $P$ を表す複素数は、

$$\frac{\alpha + \beta}{2}$$

ここで、$A(\alpha)$、$B(\beta)$ とする。

この問題では、$\alpha = -4+3i$、$\beta = 6-5i$ であるから、点 $P$ を表す複素数は、

$$\frac{(-4+3i) + (6-5i)}{2} = \frac{2-2i}{2} = 1-i$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{19}{5} + \frac{3}{5}i$

(2) $1-i$