2次方程式 $x^2 - 2ax + 3a - 2 = 0$ を考える。 (ア) この方程式が異なる2つの実数解を持つような $a$ の範囲を求める。 (イ) この方程式が正の解と負の解を持つような $a$ の範囲を求める。 (ウ) この方程式が異なる2つの正の解を持つような $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + 3a - 2 = 0$ を考える。

(ア) この方程式が異なる2つの実数解を持つような $a$ の範囲を求める。

(イ) この方程式が正の解と負の解を持つような $a$ の範囲を求める。

(ウ) この方程式が異なる2つの正の解を持つような $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式の判別式を $D$ とする。

$D = (-2a)^2 - 4(3a - 2) = 4a^2 - 12a + 8 = 4(a^2 - 3a + 2) = 4(a - 1)(a - 2)$

(ア) 異なる2つの実数解を持つ条件は $D > 0$ である。

$4(a - 1)(a - 2) > 0$

$(a - 1)(a - 2) > 0$

したがって、$a < 1$ または $a > 2$

(イ) 正の解と負の解を持つ条件は、解と係数の関係より、解の積が負になることである。

解の積は $3a - 2$ なので、$3a - 2 < 0$

$3a < 2$

$a < \frac{2}{3}$

(ウ) 異なる2つの正の解を持つ条件は、$D > 0$ かつ 解の和 $> 0$ かつ 解の積 $> 0$ である。

$D > 0$ より、$a < 1$ または $a > 2$

解の和は $2a$ なので、$2a > 0$ つまり $a > 0$

解の積は $3a - 2$ なので、$3a - 2 > 0$ つまり $a > \frac{2}{3}$

したがって、$a < 1$ または $a > 2$ かつ $a > 0$ かつ $a > \frac{2}{3}$ を満たす $a$ の範囲は、

$\frac{2}{3} < a < 1$ または $a > 2$

3. 最終的な答え

(ア) $a < 1$ または $a > 2$

(イ) $a < \frac{2}{3}$

(ウ) $\frac{2}{3} < a < 1$ または $a > 2$