$a$を定数とする。方程式 $x^2 - 2ax - a^2 + 2a = 0$ が実数解を持つとき、全ての解が $0 \le x \le 2$ となるような $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。方程式 $x^2 - 2ax - a^2 + 2a = 0$ が実数解を持つとき、全ての解が $0 \le x \le 2$ となるような $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次方程式の実数解を持つ条件を考えます。判別式を $D$ とすると、

$D = (-2a)^2 - 4(1)(-a^2 + 2a) = 4a^2 + 4a^2 - 8a = 8a^2 - 8a = 8a(a-1)$

実数解を持つためには $D \ge 0$ が必要なので、

$8a(a-1) \ge 0$

$a(a-1) \ge 0$

よって、$a \le 0$ または $a \ge 1$ が必要です。

次に、$f(x) = x^2 - 2ax - a^2 + 2a$ とおきます。与えられた条件を満たすには、以下の3つの条件が必要です。

(1) $f(0) \ge 0$

(2) $f(2) \ge 0$

(3) 軸 $a$ が $0 \le a \le 2$

(1) $f(0) = -a^2 + 2a \ge 0$

$a^2 - 2a \le 0$

$a(a-2) \le 0$

$0 \le a \le 2$

(2) $f(2) = 2^2 - 2a(2) - a^2 + 2a = 4 - 4a - a^2 + 2a = -a^2 - 2a + 4 \ge 0$

$a^2 + 2a - 4 \le 0$

$a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(-4)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$

よって、$-1 - \sqrt{5} \le a \le -1 + \sqrt{5}$

(3) $f(x) = (x-a)^2 - 2a^2 + 2a$ より、軸は $x = a$ です。したがって、$0 \le a \le 2$ が必要です。

これらの条件を全て満たす $a$ の範囲を求めます。

$a \le 0$ または $a \ge 1$、 $0 \le a \le 2$、 $-1 - \sqrt{5} \le a \le -1 + \sqrt{5}$、 $0 \le a \le 2$ を満たす $a$ の範囲は、

$1 \le a \le -1 + \sqrt{5}$

$-1 + \sqrt{5} \approx -1 + 2.236 = 1.236$ なので、$1 \le a \le -1 + \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$1 \le a \le -1 + \sqrt{5}$