2次関数 $y = ax^2 - x + a$ について、以下の2つの問いに答える。 (1) グラフが $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求める。 (2) 関数の値がすべての $x$ に対して負となる $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 - x + a$ について、以下の2つの問いに答える。

(1) グラフが $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求める。

(2) 関数の値がすべての $x$ に対して負となる $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフが $x$ 軸と接するとき、2次方程式 $ax^2 - x + a = 0$ の判別式 $D$ が $D=0$ となる。

$D = (-1)^2 - 4(a)(a) = 1 - 4a^2$

$1 - 4a^2 = 0$ より

$4a^2 = 1$

$a^2 = \frac{1}{4}$

$a = \pm \frac{1}{2}$

ここで、$a=0$ の場合は2次関数にならないので、$a \neq 0$ であることを考慮する。

(2) 関数の値がすべての $x$ に対して負となるのは、$a < 0$ かつ判別式 $D < 0$ のときである。

$a < 0$ より、(1)の結果から $a = -\frac{1}{2}$ である。

$D = 1 - 4a^2 < 0$

$4a^2 > 1$

$a^2 > \frac{1}{4}$

$a < -\frac{1}{2}$ または $a > \frac{1}{2}$

$a < 0$ と $a < -\frac{1}{2}$ または $a > \frac{1}{2}$ の共通範囲を考えると、$a < -\frac{1}{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = \pm \frac{1}{2}$

(2) $a < -\frac{1}{2}$