長さ60cmの針金を2つに切り、それぞれを折り曲げて2つの正方形を作る。一方の正方形の辺の長さは、他方の正方形の辺の長さの2倍より大きく、2つの正方形の面積の和は175cm²以下である。大きい方の正方形の辺の長さの範囲を求めよ。

1. 問題の内容

長さ60cmの針金を2つに切り、それぞれを折り曲げて2つの正方形を作る。一方の正方形の辺の長さは、他方の正方形の辺の長さの2倍より大きく、2つの正方形の面積の和は175cm²以下である。大きい方の正方形の辺の長さの範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、小さい方の正方形の辺の長さを$x$ cmとする。大きい方の正方形の辺の長さを$y$ cmとする。

針金の長さに関する条件から、

$4x + 4y = 60$

$x + y = 15$

$y = 15 - x$

辺の長さに関する条件から、$y > 2x$なので、

$15 - x > 2x$

$3x < 15$

$x < 5$

面積に関する条件から、

$x^2 + y^2 \le 175$

$x^2 + (15 - x)^2 \le 175$

$x^2 + 225 - 30x + x^2 \le 175$

$2x^2 - 30x + 50 \le 0$

$x^2 - 15x + 25 \le 0$

$x^2 - 15x + 25 = 0$を解の公式で解くと、

$x = \frac{15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 25}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 100}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{125}}{2} = \frac{15 \pm 5\sqrt{5}}{2}$

よって、$\frac{15 - 5\sqrt{5}}{2} \le x \le \frac{15 + 5\sqrt{5}}{2}$

$x < 5$という条件があるので、

$\frac{15 - 5\sqrt{5}}{2} \le x < 5$

$y = 15 - x$なので、$y$の範囲は、

$15 - 5 < y \le 15 - \frac{15 - 5\sqrt{5}}{2}$

$10 < y \le \frac{30 - 15 + 5\sqrt{5}}{2} = \frac{15 + 5\sqrt{5}}{2}$

$y = 15-x$ と $y > 2x$より、$x<5$, $y>10$。

大きい方の正方形の辺の長さは$y$なので、

$10 < y \le \frac{15 + 5\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

大きい方の正方形の辺の長さの範囲は、$10 < y \le \frac{15 + 5\sqrt{5}}{2}$ cm