2次関数 $y = ax^2 - x + a$ について、以下の問いに答える。 (1) グラフが $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求める。 (2) すべての $x$ に対して $y < 0$ となる $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 - x + a$ について、以下の問いに答える。

(1) グラフが $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求める。

(2) すべての $x$ に対して $y < 0$ となる $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフが $x$ 軸と接するとき、2次方程式 $ax^2 - x + a = 0$ の判別式 $D$ が $D=0$ となる。

判別式 $D$ は、

$D = (-1)^2 - 4 \cdot a \cdot a = 1 - 4a^2$

$D = 0$ より、

$1 - 4a^2 = 0$

$4a^2 = 1$

$a^2 = \frac{1}{4}$

$a = \pm \frac{1}{2}$

$a = 0$ の場合は二次関数にならないので、$a \neq 0$ でなければならない。したがって、 $a = \pm \frac{1}{2}$

(2) すべての $x$ に対して $y < 0$ となる条件は、$a < 0$ かつ判別式 $D < 0$ である。

$a < 0$ なので、$a = - \frac{1}{2}$ である。

このとき、$y = -\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) = -\frac{1}{2}(x+1)^2 \le 0$ となる。ただし、$x = -1$ のとき、$y = 0$ となるので、$y<0$ とはならない。

したがって、$a < 0$ かつ $1 - 4a^2 < 0$ となる必要がある。

$1 - 4a^2 < 0$

$4a^2 > 1$

$a^2 > \frac{1}{4}$

$a < -\frac{1}{2}$ または $a > \frac{1}{2}$

$a < 0$ と合わせて $a < -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

グラフが $x$ 軸と接するときの $a$ の値は $a = \pm \frac{1}{2}$

すべての $x$ に対して $y < 0$ となる $a$ の値の範囲は $a < -\frac{1}{2}$