実数 $a$ に対して、2つの集合 $A = \{1, a^2 - 5a + 6, (a-1)^3 \}$ と $B = \{1, a^2 - 6a + 8, a^3 - 6a^2 + 9a \}$ が与えられている。$0 \in A \cap B$ かつ $-1 \in A \cup B$ を満たすとき、$a$ の値を求め、そのときの集合 $X = \{x \mid x \in A \cup B \text{ かつ } x \notin A \cap B \}$ の要素をすべて求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、2つの集合 $A = \{1, a^2 - 5a + 6, (a-1)^3 \}$ と $B = \{1, a^2 - 6a + 8, a^3 - 6a^2 + 9a \}$ が与えられている。$0 \in A \cap B$ かつ $-1 \in A \cup B$ を満たすとき、$a$ の値を求め、そのときの集合 $X = \{x \mid x \in A \cup B \text{ かつ } x \notin A \cap B \}$ の要素をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B$ に0が含まれるという条件から、$a^2 - 5a + 6$ か $(a-1)^3$ か $a^2 - 6a + 8$ か $a^3 - 6a^2 + 9a$ のどれかが0になる必要がある。

- $a^2 - 5a + 6 = 0$ のとき、$(a-2)(a-3) = 0$ より $a = 2, 3$

- $(a-1)^3 = 0$ のとき、$a = 1$

- $a^2 - 6a + 8 = 0$ のとき、$(a-2)(a-4) = 0$ より $a = 2, 4$

- $a^3 - 6a^2 + 9a = 0$ のとき、$a(a^2 - 6a + 9) = a(a-3)^2 = 0$ より $a = 0, 3$

次に、$A \cap B$ の可能性を検証する。

- $a = 0$ のとき、$A=\{1,6,-1\}, B=\{1,8,0\}$ より $A \cap B = \{1\}, A \cup B = \{1,6,-1,8,0\}$. よって $X = \{6,-1,8,0\}$.

- $a = 1$ のとき、$A=\{1,2,0\}, B=\{1,3,4\}$より $A \cap B=\{1\}, A \cup B=\{1,2,0,3,4\}$. よって $X=\{2,0,3,4\}$.

- $a = 2$ のとき、$A=\{1,0,1\}, B=\{1,0,2\}$より $A \cap B=\{1,0\}, A \cup B=\{1,0,2\}$. よって $X=\{2\}$.

- $a = 3$ のとき、$A=\{1,0,8\}, B=\{1,-1,0\}$より $A \cap B=\{1,0\}, A \cup B=\{1,0,8,-1\}$. よって $X=\{8,-1\}$.

- $a = 4$ のとき、$A=\{1,2,27\}, B=\{1,0,4\}$より $A \cap B=\{1\}, A \cup B=\{1,2,27,0,4\}$. よって $X=\{2,27,0,4\}$.

$-1 \in A \cup B$ となるのは、$a=0$ または $a=3$ のとき。

- $a=0$ のとき、$A=\{1,6,-1\}, B=\{1,8,0\}$より $A \cap B=\{1\}, A \cup B=\{1,6,-1,8,0\}$ よって条件を満たす。このとき $X = \{6, -1, 8, 0\}$.

- $a=3$ のとき、$A=\{1,0,8\}, B=\{1,-1,0\}$より $A \cap B=\{1,0\}, A \cup B=\{1,0,8,-1\}$ よって条件を満たす。このとき $X = \{8, -1\}$.

$a=0$ のとき、$X=\{6,-1,8,0\}$

$a=3$ のとき、$X=\{8,-1\}$

3. 最終的な答え

$a = 0$ のとき、$X = \{6, -1, 8, 0\}$

$a = 3$ のとき、$X = \{8, -1\}$