次の漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (1) $a_1 = 3, a_{n+1} = a_n + n^2 - n (n = 1, 2, 3, ...)$ (2) $a_1 = 2, a_{n+1} = a_n + 3^n (n = 1, 2, 3, ...)$

1. 問題の内容

次の漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(1) $a_1 = 3, a_{n+1} = a_n + n^2 - n (n = 1, 2, 3, ...)$

(2) $a_1 = 2, a_{n+1} = a_n + 3^n (n = 1, 2, 3, ...)$

2. 解き方の手順

(1)

$a_{n+1} = a_n + n^2 - n$ より、

$a_{n+1} - a_n = n^2 - n$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - k)$

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - \sum_{k=1}^{n-1} k$

$a_n = 3 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 3 + \frac{(n-1)n}{6} (2n-1 - 3)$

$a_n = 3 + \frac{(n-1)n}{6} (2n-4)$

$a_n = 3 + \frac{(n-1)n(n-2)}{3}$

$a_n = 3 + \frac{n^3 - 3n^2 + 2n}{3}$

$a_n = \frac{n^3 - 3n^2 + 2n + 9}{3}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = \frac{1 - 3 + 2 + 9}{3} = \frac{9}{3} = 3$ となり、これは成り立つ。

したがって、$a_n = \frac{n^3 - 3n^2 + 2n + 9}{3}$

(2)

$a_{n+1} = a_n + 3^n$ より、

$a_{n+1} - a_n = 3^n$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k$

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k$

$a_n = 2 + \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1}$

$a_n = 2 + \frac{3^n - 3}{2}$

$a_n = \frac{4 + 3^n - 3}{2}$

$a_n = \frac{3^n + 1}{2}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = \frac{3^1 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ となり、これは成り立つ。

したがって、$a_n = \frac{3^n + 1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n^3 - 3n^2 + 2n + 9}{3}$

(2) $a_n = \frac{3^n + 1}{2}$