与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 3, a_{n+1} = a_n + n^2 - n$ (2) $a_1 = 2, a_{n+1} = a_n + 3^n$

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 3, a_{n+1} = a_n + n^2 - n$

(2) $a_1 = 2, a_{n+1} = a_n + 3^n$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = a_n + n^2 - n$ より、階差数列を考える。

$a_{n+1} - a_n = n^2 - n$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - k)$

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - \sum_{k=1}^{n-1} k$

$a_n = 3 + \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1) - \frac{1}{2}(n-1)n$

$a_n = 3 + \frac{1}{6}(n-1)n\{2n-1 - 3\}$

$a_n = 3 + \frac{1}{6}(n-1)n(2n-4)$

$a_n = 3 + \frac{1}{3}(n-1)n(n-2)$

$a_n = 3 + \frac{1}{3}(n^3 - 3n^2 + 2n)$

$a_n = \frac{1}{3}(n^3 - 3n^2 + 2n + 9)$

$n=1$ のとき、 $a_1 = \frac{1}{3}(1 - 3 + 2 + 9) = \frac{9}{3} = 3$ となり、成り立つ。

(2) $a_{n+1} = a_n + 3^n$ より、階差数列を考える。

$a_{n+1} - a_n = 3^n$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k$

$a_n = 2 + \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1}$

$a_n = 2 + \frac{3}{2}(3^{n-1} - 1)$

$a_n = 2 + \frac{1}{2}(3^n - 3)$

$a_n = \frac{1}{2}(3^n + 1)$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1}{2}(3^1 + 1) = \frac{4}{2} = 2$ となり、成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{1}{3}(n^3 - 3n^2 + 2n + 9)$

(2) $a_n = \frac{1}{2}(3^n + 1)$