与えられた2つの2次関数について、最大値または最小値が存在する場合、その値を求めよ。 (1) $y = x^2 - 6x + 5$ (2) $y = -2x^2 + 5x$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、最大値または最小値が存在する場合、その値を求めよ。

(1) $y = x^2 - 6x + 5$

(2) $y = -2x^2 + 5x$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 6x + 5$ を平方完成する。

$y = (x^2 - 6x) + 5$

$y = (x^2 - 6x + 9 - 9) + 5$

$y = (x - 3)^2 - 9 + 5$

$y = (x - 3)^2 - 4$

この関数は下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(3, -4)$ である。したがって、最小値は $x = 3$ のとき $y = -4$ となり、最大値は存在しない。

(2) $y = -2x^2 + 5x$ を平方完成する。

$y = -2(x^2 - \frac{5}{2}x)$

$y = -2(x^2 - \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 - (\frac{5}{4})^2)$

$y = -2((x - \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{16})$

$y = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8}$

この関数は上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(\frac{5}{4}, \frac{25}{8})$ である。したがって、最大値は $x = \frac{5}{4}$ のとき $y = \frac{25}{8}$ となり、最小値は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $-4$ ($x = 3$ のとき), 最大値: なし

(2) 最大値: $\frac{25}{8}$ ($x = \frac{5}{4}$ のとき), 最小値: なし