与えられた2つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (5) $2x^2 - 9xy + 9y^2 - 3x + 3y - 2$ (6) $4x^2(3y+z) - 9y^2(z+2x) + z^2(2x-3y)$

1. 問題の内容

与えられた2つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(5) $2x^2 - 9xy + 9y^2 - 3x + 3y - 2$

(6) $4x^2(3y+z) - 9y^2(z+2x) + z^2(2x-3y)$

2. 解き方の手順

(5) $2x^2 - 9xy + 9y^2 - 3x + 3y - 2$ を因数分解します。

まず、$x$ の2次式として整理します。

$2x^2 + (-9y-3)x + (9y^2+3y-2)$

次に、定数項 $9y^2+3y-2$ を因数分解します。

$9y^2+3y-2 = (3y+2)(3y-1)$

したがって、与式は

$2x^2 + (-9y-3)x + (3y+2)(3y-1)$

$(ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形で因数分解できると仮定して、

$(2x+Ay+B)(x+Cy+D)$

$2x^2 + (A+2C)xy + (2D+BC)x + ACy^2 + (AD+BC)y + BD$

$2x^2 + (A+2C)xy + (D+B)x + ACy^2 + (BD)y + BD$

係数を比較すると、

$AC = 9$, $A+2C = -9$, $BD = -2$

$A = -6$, $C = -3/2$ とすると、$A+2C = -6-3 = -9$ となる。

次に、

$(2x-6y+1)(x-(3/2)y-2)$

$2x^2 -3xy - 4x -6xy + 9y^2 + 12y + x - (3/2)y - 2$

$=2x^2 -9xy + 9y^2 -3x + (21/2)y - 2$

$2x^2 - 9xy + 9y^2 - 3x + 3y - 2$ を因数分解します。

$=(2x-3y+a)(x-3y+b)$ とおくと、

$=2x^2-6xy+2bx-3xy+9y^2-3by+ax-3ay+ab$

$=2x^2-9xy+9y^2+(2b+a)x+(-3b-3a)y+ab$

$2b+a = -3$

$-3b-3a = 3$

$ab=-2$

$b+a = -1$

$a = -b-1$

$2b - b -1 = -3$

$b = -2$

$a = 1$

$ab=-2$

$(2x-3y+1)(x-3y-2)$

(6) $4x^2(3y+z) - 9y^2(z+2x) + z^2(2x-3y)$ を展開します。

$12x^2y + 4x^2z - 9y^2z - 18xy^2 + 2xz^2 - 3yz^2$

$12x^2y - 18xy^2 + 4x^2z + 2xz^2 - 9y^2z - 3yz^2$

$12x^2y - 18xy^2 + 4x^2z + 2xz^2 - 9y^2z - 3yz^2 = (2x-3y)(2xz+z(-3y))= (2x-3y)(2xz+3yz)$

$=(2x-3y)(z(2x+3y))$

(6) $4x^2(3y+z) - 9y^2(z+2x) + z^2(2x-3y)$

$=12x^2y+4x^2z-9y^2z-18xy^2+2xz^2-3yz^2$

$=(2x-3y)(az+by)$とおくと、計算が大変なので別の方法で考える。

$f(x,y,z)=12x^2y-18xy^2+4x^2z+2xz^2-9y^2z-3yz^2$

これは、$x,y,z$に関して斉次式であり、$f(x,y,z)$が$2x-3y$を因数に持つのは、$2x=3y$を代入したときに0になることである。

$f(3y/2,y,z)=12(9y^2/4)y-18(3y/2)y^2+4(9y^2/4)z+2(3y/2)z^2-9y^2z-3yz^2$

$=27y^3-27y^3+9y^2z+3yz^2-9y^2z-3yz^2=0$

よって$2x-3y$を因数に持つ。

同様に、$f(x,y,0)=12x^2y-18xy^2=6xy(2x-3y)$

$f(x,0,z)=4x^2z+2xz^2=2xz(2x+z)$

$f(0,y,z)=-9y^2z-3yz^2=-3yz(3y+z)$

よって、$f(x,y,z)=(2x-3y)(Axz+Byz+Cxy)$とおく。

$f(x,y,z)=12x^2y+4x^2z-9y^2z-18xy^2+2xz^2-3yz^2$

$4x^2z+2xz^2=(2x-3y)Axz=2Ax^2z-3Axyz$

$A=2x+3y$

$-9y^2z-3yz^2=(2x-3y)Byz=(2x-3y)Byz=2Bxyz-3By^2z$

$-18xy^2+12x^2y = Cxy$

$f(x,y,z)=(2x-3y)(Az+Bx+Cy)$とおく。

3. 最終的な答え

(5) $(2x-3y+1)(x-3y-2)$

(6) $(2x-3y)(2xz+3yz)$

または、(6) $z(2x-3y)(2x+3y)$