実数 $a$ を用いて、2つの集合 $A = \{1, a^2 - 5a + 6, a - 1\}$ と $B = \{1, a^2 - 6a + 8, a^3 - 6a^2 + 9a\}$ が与えられている。$0 \in A \cap B$ かつ $-1 \in A \cup B$ が成り立つとき、$a$ の値を求め、さらに集合 $X = \{x \mid x \in A \cup B \text{ かつ } x \notin A \cap B\}$ の要素を全て求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a$ を用いて、2つの集合 $A = \{1, a^2 - 5a + 6, a - 1\}$ と $B = \{1, a^2 - 6a + 8, a^3 - 6a^2 + 9a\}$ が与えられている。$0 \in A \cap B$ かつ $-1 \in A \cup B$ が成り立つとき、$a$ の値を求め、さらに集合 $X = \{x \mid x \in A \cup B \text{ かつ } x \notin A \cap B\}$ の要素を全て求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$0 \in A \cap B$ より、$0 \in A$ かつ $0 \in B$ である。

したがって、$a^2 - 5a + 6 = 0$ または $a - 1 = 0$ かつ $a^2 - 6a + 8 = 0$ または $a^3 - 6a^2 + 9a = 0$。

$a^2 - 5a + 6 = (a - 2)(a - 3) = 0$ より、$a = 2$ または $a = 3$。

$a - 1 = 0$ より、$a = 1$。

$a^2 - 6a + 8 = (a - 2)(a - 4) = 0$ より、$a = 2$ または $a = 4$。

$a^3 - 6a^2 + 9a = a(a^2 - 6a + 9) = a(a - 3)^2 = 0$ より、$a = 0$ または $a = 3$。

$0 \in A \cap B$ を満たす $a$ の値は、$a=2$ または $a=3$ である。

次に、$-1 \in A \cup B$ を考慮する。

$a = 2$ のとき、$A = \{1, 0, 1\}$、$B = \{1, 0, 2\}$。$A \cup B = \{0, 1, 2\}$ であり、$-1 \notin A \cup B$ なので、$a = 2$ は不適。

$a = 3$ のとき、$A = \{1, 0, 2\}$、$B = \{1, -1, 0\}$。$A \cup B = \{0, 1, 2, -1\}$ であり、$-1 \in A \cup B$ を満たす。

よって、$a=3$。

$a = 3$ のとき、$A = \{1, 0, 2\}$、$B = \{1, -1, 0\}$、$A \cap B = \{0, 1\}$、$A \cup B = \{1, 0, 2, -1\}$。

$X = \{x \mid x \in A \cup B \text{ かつ } x \notin A \cap B\}$ なので、$X = \{2, -1\}$。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$X = \{2, -1\}$