(4) 2次関数 $y = 2x^2 + 3x - 5$ のグラフを平行移動して得られる曲線で、2点 $(0, -14)$ と $(2, 4)$ を通る曲線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ の形で求め、空欄ア、イ、ウを埋める。

## 問題の回答

1. 問題の内容

(4) 2次関数 $y = 2x^2 + 3x - 5$ のグラフを平行移動して得られる曲線で、2点 $(0, -14)$ と $(2, 4)$ を通る曲線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ の形で求め、空欄ア、イ、ウを埋める。

2. 解き方の手順

放物線 $y = 2x^2 + 3x - 5$ を平行移動したグラフの方程式は $y = 2(x-p)^2 + 3(x-p) - 5 + q$ と表せる。ただし、$p, q$ は実数である。

$y = 2(x^2 - 2px + p^2) + 3x - 3p - 5 + q$

$y = 2x^2 - 4px + 2p^2 + 3x - 3p - 5 + q$

$y = 2x^2 + (3 - 4p)x + (2p^2 - 3p - 5 + q)$

この放物線が点 $(0, -14)$ と $(2, 4)$ を通るので、それぞれの点を代入して $p$ と $q$ に関する連立方程式を立てる。

まず、$(0, -14)$ を代入すると、

$-14 = 2(0)^2 + (3 - 4p)(0) + (2p^2 - 3p - 5 + q)$

$-14 = 2p^2 - 3p - 5 + q$

$q = -2p^2 + 3p - 9$ ...(1)

次に、$(2, 4)$ を代入すると、

$4 = 2(2)^2 + (3 - 4p)(2) + (2p^2 - 3p - 5 + q)$

$4 = 8 + 6 - 8p + 2p^2 - 3p - 5 + q$

$4 = 9 - 11p + 2p^2 + q$

$q = -2p^2 + 11p - 5$ ...(2)

(1)と(2)より、

$-2p^2 + 3p - 9 = -2p^2 + 11p - 5$

$8p = -4$

$p = -\frac{1}{2}$

これを(1)に代入すると、

$q = -2(-\frac{1}{2})^2 + 3(-\frac{1}{2}) - 9 = -2(\frac{1}{4}) - \frac{3}{2} - 9 = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 9 = -2 - 9 = -11$

したがって、放物線の方程式は

$y = 2x^2 + (3 - 4(-\frac{1}{2}))x + (2(-\frac{1}{2})^2 - 3(-\frac{1}{2}) - 5 - 11) = 2x^2 + (3+2)x + (2(\frac{1}{4}) + \frac{3}{2} - 16) = 2x^2 + 5x + (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 16) = 2x^2 + 5x + (2 - 16) = 2x^2 + 5x - 14$

よって、$a=2$, $b=5$, $c=-14$

3. 最終的な答え

ア：2

イ：5

ウ：14

$y = 2x^2 + 5x - 14$