与えられた命題の逆と対偶を述べ、元の命題、逆、対偶の真偽を調べる問題です。 (1) $x > 2 \implies x^2 > 4$ (2) $n$ は偶数 $\implies$ $n$ は 6 の倍数

1. 問題の内容

与えられた命題の逆と対偶を述べ、元の命題、逆、対偶の真偽を調べる問題です。

(1) $x > 2 \implies x^2 > 4$

(2) $n$ は偶数 $\implies$ $n$ は 6 の倍数

2. 解き方の手順

(1)

元の命題：$x > 2 \implies x^2 > 4$

逆：$x^2 > 4 \implies x > 2$

対偶：$x^2 \le 4 \implies x \le 2$

元の命題の真偽：$x > 2$ ならば $x^2 > 4$ は常に成り立つので、真。

逆の真偽：$x^2 > 4$ であっても $x < -2$ の場合もあるので、偽。（反例：$x = -3$）

対偶の真偽：元の命題が真なので、対偶も真。

(2)

元の命題：$n$ は偶数 $\implies$ $n$ は 6 の倍数

逆：$n$ は 6 の倍数 $\implies$ $n$ は偶数

対偶：$n$ は 6 の倍数ではない $\implies$ $n$ は偶数ではない（$n$ は奇数）

元の命題の真偽：$n = 2$ は偶数だが 6 の倍数ではないので、偽。（反例：$n=2$）

逆の真偽：$n$ が 6 の倍数ならば必ず偶数なので、真。

対偶の真偽：元の命題が偽なので、対偶も偽。（反例：$n = 1$）

3. 最終的な答え

(1)

元の命題：真

逆：偽

対偶：真

(2)

元の命題：偽

逆：真

対偶：偽