$x$ がどのような値をとるときも、等式 $(ax+1)(x+b) = 3x^2 + 16x + c$ が成り立つような $a, b, c$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$x$ がどのような値をとるときも、等式 $(ax+1)(x+b) = 3x^2 + 16x + c$ が成り立つような $a, b, c$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、左辺を展開します。

$(ax+1)(x+b) = ax^2 + abx + x + b = ax^2 + (ab+1)x + b$

この式が $3x^2 + 16x + c$ と等しいので、各項の係数を比較します。

$x^2$ の係数を比較すると、$a = 3$

$x$ の係数を比較すると、$ab + 1 = 16$

定数項を比較すると、$b = c$

$a = 3$ を $ab + 1 = 16$ に代入すると、

$3b + 1 = 16$

$3b = 15$

$b = 5$

$b = c$ なので、$c = 5$

3. 最終的な答え

$a = 3, b = 5, c = 5$