問題72：2次関数 $y = x^2 + ax + b$ のグラフを、$x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したところ、頂点の座標が $(-2, 4)$ になった。定数 $a, b$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

問題72：2次関数 $y = x^2 + ax + b$ のグラフを、$x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したところ、頂点の座標が $(-2, 4)$ になった。定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 + ax + b$ を平方完成します。

$y = x^2 + ax + b = (x + \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 + b$

したがって、元のグラフの頂点の座標は $(-\frac{a}{2}, -(\frac{a}{2})^2 + b)$ です。

$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$3$だけ平行移動すると、頂点の座標は$(-\frac{a}{2} - 1, -(\frac{a}{2})^2 + b + 3)$になります。

これが$(-2, 4)$と等しいので、以下の連立方程式が成り立ちます。

$-\frac{a}{2} - 1 = -2$

$-(\frac{a}{2})^2 + b + 3 = 4$

最初の式より、

$-\frac{a}{2} = -1$

$a = 2$

二番目の式に $a = 2$ を代入すると、

$-(1)^2 + b + 3 = 4$

$-1 + b + 3 = 4$

$b + 2 = 4$

$b = 2$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 2$