関数 $f(x) = -x^2 + ax - a$ において、 $0 \le x \le 5$ の範囲における最大値を求めよ。ただし、$a$ は定数である。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + ax - a$ において、 $0 \le x \le 5$ の範囲における最大値を求めよ。ただし、$a$ は定数である。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - ax) - a$

$f(x) = -\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - a$

$f(x) = -\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + \frac{a^2}{4} - a$

これで、頂点の座標が $\left(\frac{a}{2}, \frac{a^2}{4} - a\right)$ であることがわかります。

次に、軸 $x = \frac{a}{2}$ の位置によって場合分けします。

(i) $\frac{a}{2} < 0$ のとき、つまり $a < 0$ のとき

この場合、区間 $[0, 5]$ で $f(x)$ は減少関数なので、$x=0$ で最大値を取ります。

$f(0) = -0^2 + a \cdot 0 - a = -a$

(ii) $0 \le \frac{a}{2} \le 5$ のとき、つまり $0 \le a \le 10$ のとき

この場合、頂点が区間 $[0, 5]$ に含まれるので、$x = \frac{a}{2}$ で最大値を取ります。

$f\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{a^2}{4} - a$

(iii) $\frac{a}{2} > 5$ のとき、つまり $a > 10$ のとき

この場合、区間 $[0, 5]$ で $f(x)$ は増加関数なので、$x=5$ で最大値を取ります。

$f(5) = -5^2 + a \cdot 5 - a = -25 + 5a - a = 4a - 25$

3. 最終的な答え

まとめると、

$a < 0$ のとき、最大値は $-a$

$0 \le a \le 10$ のとき、最大値は $\frac{a^2}{4} - a$

$a > 10$ のとき、最大値は $4a - 25$