(1) 関数 $y = 4^{x+1} - 2^{x+2} + 9$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。 (2) 関数 $y = \log_5(x+8) + \log_5(2-x)$ の定義域と、関数 $y$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = 4^{x+1} - 2^{x+2} + 9$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

(2) 関数 $y = \log_5(x+8) + \log_5(2-x)$ の定義域と、関数 $y$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$t = 2^x$ とおく。すると、$4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot (2^x)^2 = 4t^2$ であり、$2^{x+2} = 4 \cdot 2^x = 4t$ となる。

したがって、$y = 4t^2 - 4t + 9$ となる。

これを平方完成すると、

$y = 4(t^2 - t) + 9 = 4(t^2 - t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 9 = 4(t - \frac{1}{2})^2 - 1 + 9 = 4(t - \frac{1}{2})^2 + 8$

$t=2^x$ であるから、$t>0$ である。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、最小値 $8$ をとる。

$2^x = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ より、$x = -1$。

(2)

対数関数が定義されるためには、真数条件を満たす必要がある。

$x+8 > 0$ かつ $2-x > 0$。

したがって、$x > -8$ かつ $x < 2$。

よって、定義域は $-8 < x < 2$。

次に、関数 $y$ を変形する。

$y = \log_5(x+8) + \log_5(2-x) = \log_5((x+8)(2-x))$

$f(x) = (x+8)(2-x) = -x^2 -6x + 16 = -(x^2 + 6x) + 16 = -(x^2 + 6x + 9 - 9) + 16 = -(x+3)^2 + 9 + 16 = -(x+3)^2 + 25$

$f(x)$ は $x = -3$ のとき、最大値 $25$ をとる。 $-8 < -3 < 2$ であるので、$x = -3$ は定義域に含まれる。

したがって、$y$ の最大値は $\log_5(25) = \log_5(5^2) = 2$。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $8$、$x = -1$

(2) 定義域: $-8 < x < 2$、最大値: $2$