与えられた対数方程式を解きます。 (1) $\log_4{x} + \log_4{(x-6)} = 2$ (2) $\log_2{(x+5)} + \log_2{(x-2)} = 3$

1. 問題の内容

与えられた対数方程式を解きます。

(1) $\log_4{x} + \log_4{(x-6)} = 2$

(2) $\log_2{(x+5)} + \log_2{(x-2)} = 3$

2. 解き方の手順

(1)

まず、真数条件を確認します。

$x > 0$ かつ $x-6 > 0$ である必要があります。

したがって、$x > 6$ です。

対数の性質を用いて、左辺をまとめます。

$\log_4{x} + \log_4{(x-6)} = \log_4{(x(x-6))}$

したがって、

$\log_4{(x(x-6))} = 2$

対数の定義より、

$x(x-6) = 4^2$

$x^2 - 6x = 16$

$x^2 - 6x - 16 = 0$

$(x-8)(x+2) = 0$

$x = 8, -2$

真数条件 $x > 6$ より、$x=8$ のみが解となります。

(2)

まず、真数条件を確認します。

$x+5 > 0$ かつ $x-2 > 0$ である必要があります。

したがって、$x > -5$ かつ $x > 2$ より、$x > 2$ です。

対数の性質を用いて、左辺をまとめます。

$\log_2{(x+5)} + \log_2{(x-2)} = \log_2{((x+5)(x-2))}$

したがって、

$\log_2{((x+5)(x-2))} = 3$

対数の定義より、

$(x+5)(x-2) = 2^3$

$x^2 + 3x - 10 = 8$

$x^2 + 3x - 18 = 0$

$(x+6)(x-3) = 0$

$x = -6, 3$

真数条件 $x > 2$ より、$x=3$ のみが解となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 8$

(2) $x = 3$