与えられた対数方程式および不等式を解く。 (1) $\log_2 x = 4$ (2) $\log_{\frac{1}{10}} x = 2$ (3) $\log_3 x < 2$ (4) $\log_{\frac{1}{2}} x \leq 2$

1. 問題の内容

与えられた対数方程式および不等式を解く。

(1) $\log_2 x = 4$

(2) $\log_{\frac{1}{10}} x = 2$

(3) $\log_3 x < 2$

(4) $\log_{\frac{1}{2}} x \leq 2$

2. 解き方の手順

(1) $\log_2 x = 4$

対数の定義より、$x = 2^4$

$x = 16$

(2) $\log_{\frac{1}{10}} x = 2$

対数の定義より、$x = (\frac{1}{10})^2$

$x = \frac{1}{100}$

(3) $\log_3 x < 2$

真数条件より、$x > 0$

対数の定義より、$x < 3^2$

$x < 9$

したがって、$0 < x < 9$

(4) $\log_{\frac{1}{2}} x \leq 2$

真数条件より、$x > 0$

底が1より小さいので、不等号の向きが変わることに注意する。

$x \geq (\frac{1}{2})^2$

$x \geq \frac{1}{4}$

したがって、$x \geq \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 16$

(2) $x = \frac{1}{100}$

(3) $0 < x < 9$

(4) $x \geq \frac{1}{4}$