与えられた3つの対数の式をそれぞれ計算します。 (1) $\log_3 \frac{27}{35} + \log_3 105$ (2) $\log_5 \sqrt{2} + \frac{1}{2}\log_5 \frac{25}{12} - \frac{3}{2}\log_5 \frac{1}{\sqrt[3]{6}}$ (3) $\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 \sqrt{2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの対数の式をそれぞれ計算します。

(1) $\log_3 \frac{27}{35} + \log_3 105$

(2) $\log_5 \sqrt{2} + \frac{1}{2}\log_5 \frac{25}{12} - \frac{3}{2}\log_5 \frac{1}{\sqrt[3]{6}}$

(3) $\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 \sqrt{2}$

2. 解き方の手順

(1) 対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ を利用します。

$\log_3 \frac{27}{35} + \log_3 105 = \log_3 (\frac{27}{35} \times 105)$

$= \log_3 (27 \times 3) = \log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$

(2) 対数の性質 $a\log_b x = \log_b x^a$ および $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$、$\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$ を利用します。

$\log_5 \sqrt{2} + \frac{1}{2}\log_5 \frac{25}{12} - \frac{3}{2}\log_5 \frac{1}{\sqrt[3]{6}} = \log_5 \sqrt{2} + \log_5 (\frac{25}{12})^{\frac{1}{2}} - \log_5 (\frac{1}{\sqrt[3]{6}})^{\frac{3}{2}}$

$= \log_5 \sqrt{2} + \log_5 \sqrt{\frac{25}{12}} - \log_5 (\frac{1}{6^{\frac{1}{3}}})^{\frac{3}{2}} = \log_5 \sqrt{2} + \log_5 \frac{5}{2\sqrt{3}} - \log_5 \frac{1}{\sqrt{6}}$

$= \log_5 (\sqrt{2} \times \frac{5}{2\sqrt{3}} \div \frac{1}{\sqrt{6}}) = \log_5 (\sqrt{2} \times \frac{5}{2\sqrt{3}} \times \sqrt{6}) = \log_5 (\sqrt{2} \times \frac{5\sqrt{2}}{2}) = \log_5 \frac{5 \times 2}{2} = \log_5 5 = 1$

(3) 対数の性質 $a\log_b x = \log_b x^a$ および $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$、$\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$ を利用します。

$\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 \sqrt{2} = \log_5 64 - \log_5 4 + \log_5 \sqrt{2} = \log_5 (\frac{64}{4} \times \sqrt{2}) = \log_5 (16\sqrt{2}) = \log_5 (2^4 \times 2^{\frac{1}{2}}) = \log_5 2^{\frac{9}{2}}$

ここで、$2 = 5^{\log_5 2}$より、

$\log_5 2^{\frac{9}{2}} = \frac{9}{2}\log_5 2$ となり、これ以上簡単にはできません。問題文に誤りがないか確認ください。

しかし、もし問題が $\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 \sqrt{5}$ だったとすると、

$\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 \sqrt{5} = \log_5 64 - \log_5 4 + \log_5 \sqrt{5} = \log_5 (\frac{64}{4} \times \sqrt{5}) = \log_5 (16\sqrt{5}) = \log_5 (2^4 \times 5^{\frac{1}{2}}) = \log_5 (2^4 \times 5^{\frac{1}{2}}) = \log_5 2^4 + \log_5 5^{\frac{1}{2}} = 4\log_5 2 + \frac{1}{2}$. これ以上簡単にはできません。

さらに、もし問題が $\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 2$ だったとすると、

$\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 2 = \log_5 64 - \log_5 4 + \log_5 2 = \log_5 (\frac{64}{4} \times 2) = \log_5 (16 \times 2) = \log_5 32 = \log_5 2^5 = 5\log_5 2$. これ以上簡単にはできません。

問題が $\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 5\sqrt{2}$ だったとすると、

$\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 5\sqrt{2} = \log_5 64 - \log_5 4 + \log_5 5\sqrt{2} = \log_5 (\frac{64}{4} \times 5\sqrt{2}) = \log_5 (16 \times 5\sqrt{2}) = \log_5 (80\sqrt{2}) = \log_5(2^4 \cdot 5 \cdot 2^{1/2}) = \log_5(2^{9/2} \cdot 5) = \frac{9}{2}\log_5 2 + 1$. これ以上簡単にはできません。

問題が $\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 5\sqrt{5}$ だったとすると、

$\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 5\sqrt{5} = \log_5 64 - \log_5 4 + \log_5 5\sqrt{5} = \log_5 (\frac{64}{4} \times 5\sqrt{5}) = \log_5 (16 \times 5\sqrt{5}) = \log_5 (80\sqrt{5}) = \log_5(2^4 \cdot 5 \cdot 5^{1/2}) = \log_5(2^{4} \cdot 5^{3/2}) = 4\log_5 2 + \frac{3}{2}$

問題が $\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 2$ だったとすると、

$\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 2 = \log_5 64 - \log_5 4 + \log_5 2 = \log_5 \frac{64 \times 2}{4} = \log_5 32 = \log_5 2^5 = 5\log_5 2$.

もしかすると、$\log_5 \sqrt{2} = \log_5 2^{1/2} = (1/2) \log_5 2$ という書き間違いだったのかもしれません。

もし問題が $\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 5$ だったとすると、

$\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 5 = \log_5 64 - \log_5 4 + \log_5 5 = \log_5 \frac{64 \times 5}{4} = \log_5 (16 \times 5) = \log_5 80 = \log_5 (2^4 \times 5) = 4\log_5 2 + 1$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 1

(3) $\log_5 8^2 - \log_5 4 + \log_5 \sqrt{2} = \log_5(16\sqrt{2}) = \log_5 2^{\frac{9}{2}} = \frac{9}{2} \log_5 2$。または、問題が異なると仮定した場合の答えは上記参照。