問題は次の2つの和を求めることです。 (1) $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ (2) $\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k}$

1. 問題の内容

問題は次の2つの和を求めることです。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$

(2) $\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k}$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ について

これは初項 $5^0 = 1$、公比 $5$、項数 $n$ の等比数列の和です。

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ を用いると、

$S_n = \frac{1(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}$

(2) $\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k}$ について

これは初項 $3^1 = 3$、公比 $3$、項数 $n-1$ の等比数列の和です。

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ を用いると、

$S_{n-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} = \frac{3^n - 3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5^n - 1}{4}$

(2) $\frac{3^n - 3}{2}$