与えられた4つのベクトルが一次独立かどうかを調べる問題です。ベクトルは以下の通りです。 $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, v_4 = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4つのベクトルが一次独立かどうかを調べる問題です。ベクトルは以下の通りです。

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, v_4 = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

これらのベクトルが一次独立かどうかを調べるためには、これらのベクトルを列ベクトルとする行列を作り、その行列の階数を調べます。もし階数がベクトルの数（ここでは4）と等しければ、ベクトルは一次独立です。もし階数が4より小さければ、ベクトルは一次従属です。

行列 $A$ を次のように定義します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & -2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 2 & -3 \\ 2 & 0 & 1 & 6 \end{pmatrix}$

この行列を簡約化します。

まず、2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -6 \\ 1 & -2 & 2 & -3 \\ 2 & 0 & 1 & 6 \end{pmatrix}$

次に、3行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -6 \\ 0 & -2 & 2 & -6 \\ 2 & 0 & 1 & 6 \end{pmatrix}$

次に、4行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -6 \\ 0 & -2 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、2行目を-1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、3行目と4行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

最後に、2行目に3行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約化された行列は、行階段形であり、0でない行の数は3です。つまり、行列の階数は3です。

3. 最終的な答え

与えられた4つのベクトルは一次従属です。