ベクトル $\mathbf{y} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $\mathbf{x}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{x}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{x}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{x}_4 = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}$ を基底としたときの成分表示に変換する。すなわち、スカラー $c_1, c_2, c_3, c_4$ を求め、 $$ \mathbf{y} = c_1 \mathbf{x}_1 + c_2 \mathbf{x}_2 + c_3 \mathbf{x}_3 + c_4 \mathbf{x}_4 $$ を満たすようにする。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{y} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ を、ベクトル $\mathbf{x}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{x}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{x}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{x}_4 = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}$ を基底としたときの成分表示に変換する。すなわち、スカラー $c_1, c_2, c_3, c_4$ を求め、

$$\mathbf{y} = c_1 \mathbf{x}_1 + c_2 \mathbf{x}_2 + c_3 \mathbf{x}_3 + c_4 \mathbf{x}_4$$

を満たすようにする。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、次の連立一次方程式を解けばよい。

$$$$

\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + c_4 \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}

$$$$

これは、次の連立方程式と同値である。

\begin{align*}

2c_1 + 0c_2 + 2c_3 + 4c_4 &= 4 \\

-c_1 + 5c_2 + 0c_3 + 6c_4 &= 5 \\

c_1 - c_2 + 0c_3 + c_4 &= -1 \\

2c_1 + 0c_2 + 2c_3 + 6c_4 &= 4

\end{align*}

この連立方程式を行列を用いて表すと、次のようになる。

$$$$

\begin{pmatrix}

2 & 0 & 2 & 4 \\

-1 & 5 & 0 & 6 \\

1 & -1 & 0 & 1 \\

2 & 0 & 2 & 6

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

c_1 \\

c_2 \\

c_3 \\

c_4

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

4 \\

5 \\

-1 \\

4

\end{pmatrix}

$$$$

拡大係数行列を作成し、ガウスの消去法で解く。

$$$$

\begin{pmatrix}

2 & 0 & 2 & 4 & 4 \\

-1 & 5 & 0 & 6 & 5 \\

1 & -1 & 0 & 1 & -1 \\

2 & 0 & 2 & 6 & 4

\end{pmatrix}

$$$$

1行目を1/2倍する。

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 2 & 2 \\

-1 & 5 & 0 & 6 & 5 \\

1 & -1 & 0 & 1 & -1 \\

2 & 0 & 2 & 6 & 4

\end{pmatrix}

$$$$

2行目に1行目を足し、3行目から1行目を引き、4行目から1行目の2倍を引く。

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 2 & 2 \\

0 & 5 & 1 & 8 & 7 \\

0 & -1 & -1 & -1 & -3 \\

0 & 0 & 0 & 2 & 0

\end{pmatrix}

$$$$

3行目を5倍し、2行目を足す。

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 2 & 2 \\

0 & 5 & 1 & 8 & 7 \\

0 & 0 & -4 & 3 & -8 \\

0 & 0 & 0 & 2 & 0

\end{pmatrix}

$$$$

4行目より、$2c_4 = 0$ なので、$c_4 = 0$

3行目より、$-4c_3 + 3c_4 = -8$ なので、$-4c_3 = -8$ となり、$c_3 = 2$

2行目より、$5c_2 + c_3 + 8c_4 = 7$ なので、$5c_2 + 2 = 7$ となり、$5c_2 = 5$ 、$c_2 = 1$

1行目より、$c_1 + c_3 + 2c_4 = 2$ なので、$c_1 + 2 = 2$ となり、$c_1 = 0$

3. 最終的な答え

$c_1 = 0, c_2 = 1, c_3 = 2, c_4 = 0$

$\mathbf{y} = 0 \mathbf{x}_1 + 1 \mathbf{x}_2 + 2 \mathbf{x}_3 + 0 \mathbf{x}_4$

したがって、$\mathbf{y}$ を $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3, \mathbf{x}_4$ を基底としたときの成分表示は

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ となる。